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2009年高考试题——数学(湖北卷)(理)(内附详细解析)

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知识改变命运,学*成就未来

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工农医类)
本试卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 祝考试顺利 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在 试题卷上无效。 4. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的。 1、 已知 P ? {a | a ? (1,0) ? m(0,1), m ? R}, Q ? {b | b ? (1,1) ? n(?1,1), n ? R} 是两个向量集 合,则 P I Q ? A.〔1,1〕 { } 1. 【答案】A B. { 〔-1,1〕 } C. { 〔1,0〕 } D. { 〔0,1〕 }

【解析】因为 a ? (1, m) 2.设 a 为非零实数,函数 y ?

?

? b ? (1 ? n,1 ? n) 代入选项可得 P ? Q ? ??1,1?? 故选 A.

1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? )的反函数是 1 ? ax a 1 ? ax 1 1 ? ax 1 A、 y ? B、 y ? ( x ? R, 且x ? ? ) ( x ? R, 且x ? ? ) 1 ? ax a 1 ? ax a
C、 y ?

1? x ( x ? R, 且x ? 1) a(1 ? x)

D、 y ?

1? x ( x ? R, 且x ? ?1) a(1 ? x)

2. 【答案】D 【解析】由原函数是 y ?

1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? ) ,从中解得 1 ? ax a

x?

1? y 1? y ( y ? R, 且y ? ?1) 即原函数的反函数是 x ? ( y ? R, 且y ? ?1) , 故选择 a(1 ? y ) a(1 ? y )

D 3、投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为

1 3 1 C、 6
A、

1 4 1 D、 12
B、

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3. 【答案】C 【解析】因为 (m ? ni)(n ? mi) ? 2mn ? (n2 ? m2 )i 为实数 所以 n2 ? m2 故 m ? n 则可以取 1、2 ? ? ? 6,共 6 种可能,所以 P ? 4.函数 y ? cos(2x ?
6 1 ? 1 C ? C6 6
1 6

?
6

)? 2 的图象 F 按向量 a *移到 F ' , F ' 的函数解析式为 y ? f ( x), 当

y ? f ( x) 为奇函数时,向量 a 可以等于
A.(?

?
6

, ?2)

B. ( ?

?
6

, 2)

C. ( ? 2 ) , 6

?

D.( , 2) 6

?

4. 【答案】B 【解析】直接用代入法检验比较简单.或者设 a ? ( x?, y ?) ,根据定义

v

y ? y? ? cos[2( x ? x?) ? ] ? 2 ,根据 y 是奇函数,对应求出 x? , y ? 。 6
5.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名 学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为

?

A.18
5. 【答案】C

B.24

C.30

D.36

【解析】用间接法解答:四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 C42 ,顺序有 A33 种,
2 3 3 而甲乙被分在同一个班的有 A33 种,所以种数是 C4 A3 ? A3 ? 30

6.设 (

2 ? x)2 n ? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ... ? a2 n ?1 x 2 n ?1 ? a2 n x 2 n ,则 2

lim[(a0 ? a2 ? a4 ? ... ? a2 n ) 2 ? (a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a2 n ?1 ) 2 ] ?
n ??

A. ? 1
6. 【答案】B

B.0

C.1

D.

2 2

【解析】令 x ? 0 得 a0 ? ( 令 x ? 1时 (

2 2n 1 ) ? n 2 2

2 ? 1)2n ? a0 ? a1 ? a2 ? ??? ? a2 n 2 2 ? 1)2 n ? a0 ? a1 ? a2 ? ??? ? a2 n 2

令 x ? ?1 时 (

两式相加得: a0 ? a2 ? ??? ? a2 n ?

(

2 2 ? 1)2n ? ( ? 1)2n 2 2 2

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( 2 2 ? 1)2 n ? ( ? 1)2 n 2 2 2

两式相减得: a1 ? a3 ? ??? ? a2 n ?1 ? 代入极限式可得,故选 B 7.已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点,则直线 y ? kx ? 2 与椭圆至多 2 2 4 b

有一个交点的充要条件是 A. K ? ? ?

? 1 1? , ? 2 2? ?
2 2? , ? 2 2 ?

B. K ? ? ??, ? ? 2 D. K ? ? ??, ?

? ?

1?

? ? , ?? ? ? ? ?2

?1

?

C. K ? ? ?

? ?

? ? ?

? 2? ? 2 , ?? ? ??? ? 2 ? ? 2 ?

7. 【答案】A 【解析】易得准线方程是 x ? ?
a2 2 ? ? ? ?1 b 2 x2 y 2 ? ?1 4 3

所以 c2 ? a2 ? b2 ? 4 ? b2 ? 1 即 b2 ? 3 所以方程是

联立 y ? kx ? 2 可得 3x2 +(4k 2 +16k)x ? 4 ? 0 由 ? ? 0 可解得 A 8.在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻*的乡镇,现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型货车运 输费用 300 元,可装洗衣机 10 台。若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为 A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元 8. 【答案】B

?0 ? x ? 4 ? 【解析】设甲型货车使用 x 辆,已型货车 y 辆.则 ? 0 ? y ? 8 ,求 Z=400x+300y 最小 ? 20 ? 10 y ? 100 ?
值.可求出最优解为(4,2)故 ?min ? 2200 故选 B. 9.设球的半径为时间 t 的函数 R ? t ? 。 若球的体积以均匀速度 c 增长, 则球的表面积的增长速 度与球半径 A.成正比,比例系数为 C C.成反比,比例系数为 C 9.【答案】D 【解析】由题意可知球的体积为 V (t ) ?

B. 成正比,比例系数为 2C D. 成反比,比例系数为 2C

4 3 ? R (t ) ,则 c ? V ' (t ) ? 4? R 2(t )R '(t ) ,由此可得 3

c ? 4? R(t ) ,而球的表面积为 S (t ) ? 4? R 2 (t ) , R(t ) R ' (t )
所以 v表=S (t ) ? 4? R (t ) ? 8? R(t ) R (t ) ,
' 2 '

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即 v表=8? R(t ) R (t )=2 ? 4? R(t ) R (t )=
' '

2c 2c ,故选 D R ' (t )= ' R(t ) R (t ) R(t )

10.古希腊人常用小石子在沙滩*诔筛髦中巫蠢囱芯渴1热纾

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似的,称图 2 中的 1,4,9,16,…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正 方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 10.【答案】C 【解析】 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项 a ?
n

n ( n ? 1) ,同理可得正方形数 2
n ( n ? 1) 知 a n 必 2

n 构成的数列通项 bn ? n ,则由 bn ? n ( n ? N ? ) 可排除 A、D,又由 a ?
2 2

为奇数,故选 C. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 11.已知关于 x 的不等式 11.【答案】-2 【解析】由不等式判断可得 a≠0 且不等式等价于 a( x ? 1)( x ? ) ? 0 由解集特点可得 a ? 0且

ax ? 1 1 <0 的解集是 (??, ?1) ? (? , ??) .则 a ? x ?1 2

.

1 a

1 1 ? ? ? a ? ?2 a 2
.

12.样本容量为 200 的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落 在 [6,10) 内的频数为 12.【答案】64 0.4 ,数据落在 [2,10) 内的概率约为

【解析】由于在 [6,10) 范围内频数、组距是 0.08,所以频率是 0.08*组距=0.32,而频数=

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频率*样本容量,所以频数=(0.08*4)*200=64 同样在 [2, 6) 范围内的频数为 16, 所以在 [2,10) 范围内的频数和为 80, 概率为 80/200=0.4

13.如图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电视信号能够传送到达的地面区域,称为这 个卫星的覆盖区域.为了转播 2008 年北京奥运会,我国发射了“中星九号”广播电视直播 卫星,它离地球表面的距离约为 36000km.已知地球半径约为 6400km,则“中星九号”覆 盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km.(结果中保留反余弦的符号). 13. 【答案】12800arccos

A

8 【解析】如图所示,可得 AO=42400,则在 53 8 Rt△ABO 中可得 cos∠AOB= 53

B

所以 l ? ? ? R ? 2?AOB ? R ? 12800arccos

8 53
.

O

C

14.已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为

?

?

4

4

14.【答案】1 【解析】因为 f '( x) ? ? f '( ) ? sin x ? cos x 所以 f '( ) ? ? f '( ) ? sin

?

?

?

?
4

? f '( ) ? 2 ? 1 故 f ( ) ? f '( ) cos ? sin ? f ( ) ? 1 4 4 4 4 4 4
? an ? , 当an为偶数时, 15.已知数列 ?an ? 满足:a1=m (m 为正整数) an ?1 ? ? 2 , 若 a6=1 , ?3an ? 1, 当an为奇数时。 ?
则 m 所有可能的取值为__________。 15.【答案】4 5 32 【解析】 (1)若 a1 ? m 为偶数,则

?

4

?

?

?

4

?

4

? cos

?
4

?

a1 a m m 为偶, 故 a2 ? a3 ? 2 ? 2 2 2 4 m m m m ①当 仍为偶数时, a4 ? ??????a6 ? 故 ? 1 ? m ? 32 8 32 32 4 3 m ?1 3 m ②当 为奇数时, a4 ? 3a3 ? 1 ? m ? 1 ?????? a6 ? 4 4 4 4

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3 m ?1 故4 ? 1 得 m=4。 4
(2)若 a1 ? m 为奇数,则 a2 ? 3a1 ? 1 ? 3m ? 1 为偶数,故 a3 ?

?????? a6 ?

3m ? 1 3m ? 1 ,所以 =1 可得 m=5 16 16

3m ? 1 必为偶数 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 2,3,4,5;另一个盒子 也装有 4 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 3,4,5,6。现从一个盒子中任取一张 卡片,其上面的数记为 x;再从另一盒子里任取一张卡片,其上面的数记为 y,记随机变量

?=x+y ,求? 的分布列和数学期望。
16.解析:依题意,可分别取 ? ? 5 、6、 ???? 11 取,则有

1 1 2 3 ? , p(? ? 6) ? , p(? ? 7) ? 4 ? 4 16 16 16 4 3 2 1 p(? ? 8) ? , p(? ? 9) ? , p(? ? 10) ? , p(? ? 11) ? 16 16 16 16 p(? ? 5) ?

?? 的分布列为

?

5

6

7

8

9

10

11

2 3 4 3 16 16 16 16 1 2 3 4 3 2 1 E? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 8 ? ? 9 ? ? 10 ? ? 11? ? 8 . 16 16 16 16 16 16 16
17. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知向量 a ? (cos a,sin a), b ? (cos ? ,sin ? ), c ? (?1,0) (Ⅰ)求向量 b ? c 的长度的最大值; (Ⅱ)设 a ?

p

1 16

2 16

1 16

?
4

,且 a ? (b ? c) ,求 cos ? 的值。

17.解析: (1)解法 1: b ? c = (cos? ? 1,sin? ), 则

| b ? c |2 ? (cos? ? 1)2 ? sin 2 ? ? 2(1 ? cos? ). ? ?1 ? cos? ? 1,? 0 ?| b ? c |2 ? 4 ,即 0 ?| b ? c |? 2.
当 cos? ? ?1 时,有 | b ? c |? 2, 所以向量 b ? c 的长度的最大值为 2.

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解法 2:?| b |= 1 , | c |? 1 , | b ? c |?| b | + | c |? 2 当 cos? ? ?1 时,有 | b ? c |= (?2,0) ,即 | b ? c |= 2 ,

b ? c 的长度的最大值为 2.
(2)解法 1:由已知可得 b ? c = (cos? ? 1,sin? ),

a? b ? c) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? cos ? 。 ( ? a⊥(b+c),? a ? (b ? c) ? 0 ,即 cos(? ? ? ) ? cos ? 。
由? ?

?
4

,得 cos(

?
4

? ? ) ? cos

?
4

,即 ? ?

?
4

? 2k ? ?

?
4

(k ? z ) 。

? ? ? 2k ? ?

?
4

或? ? 2k? , ? z ) ,于是 cos ? ? 0或 cos ? ? 1 。 (k

解法 2:若 ? ?

?
4

,则 a ? (

2 2 , ) ,又由 b ? (cos ? ,sin ? ) , c ? (?1,0) 得 2 2

? a ? (b ? c) ? (

2 2 2 2 2 , ) ? (cos ? ? 1,sin ? ) ? cos ? ? sin ? ? 2 2 2 2 2

? a⊥(b+c),? a ? (b ? c) ? 0 ,即 cos ? (cos ? ? 1) ? 0 ? sin ? ? 1 ? cos ? ,*方后化简得 cos ? (cos ? ? 1) ? 0
解得 cos ? ? 0 或 cos ? ? 1 ,经检验, cos ? ? 0或 cos ? ? 1 即为所求

18. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,SD ? *面 ABCD,SD=2a, AD ? 是 SD 上的点,且 DE ? ? a(0 ? ? ? 2) (Ⅰ)求证:对任意的 ? ? (0, 2] ,都有 AC ? BE (Ⅱ)设二面角 C—AE—D 的大小为 ? ,直线 BE 与*面 ABCD

2a 点 E

所成的角为 ? ,若 tan ? gtan ? ? 1 ,求 ? 的值 18.(Ⅰ)证法 1:如图 1,连接 BE、BD,由地面 ABCD 是正方形可得 AC⊥BD。 ?SD⊥*面 ABCD,?BD 是 BE 在*面 ABCD 上的射影,?AC⊥BE

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(Ⅱ)解法 1:如图 1,由 SD⊥*面 ABCD 知,∠DBE=

?,

?SD⊥*面 ABCD,CD ? *面 ABCD, ?SD⊥CD。 又底面 ABCD 是正方形,? CD⊥AD,而 SD ? AD=D,CD⊥*面 SAD.
连接 AE、CE,过点 D 在*面 SAD 内作 DE⊥AE 于 F,连接 CF,则 CF⊥AE, 故∠CDF 是二面角 C-AE-D 的*面角,即∠CDF= ? 。 在 Rt△BDE 中,? BD=2a,DE= ? a ? tan ? ? 在 Rt△ADE 中, ? AD ? 从而 DF ?

DE ? ? BD 2

2a, DE ? ? a,? AE ? a ? 2 ? 2

AD ? DE ? AE

2? a

?2 ? 2

在 Rt?CDF 中, tan ? ?

CD ?2 ? 2 ? . DF ?

由 tan ? ? tan ? ? 1 ,得 由 ? ? (0, 2] ,解得 ? ? (I)

?2 ? 2 ? . ?1 ? ?2 ? 2 ? 2 ? ?2 ? 2 . ? 2
2 ,即为所求.
??? ???? ??? ? ?

证法 2:以 D 为原点, DA, DC , DS 的方向分别作为 x,y,z 轴的正方向建立如 图 2 所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,A( 2 ,0,0) ,B( 2a , 2a ,0) ,C(0, 2a ,0) ,E(0,0 ? a ) ,

? ? ?? ? A C ? ( ? 2 a,

? ? ?? 2a , 0 )B E ? ( , ?

a? , ? a2 , 2 a

)

??? ??? ? ? ? AC ? BE ? 2a 2 ? 2a 2 ? 0 ? ? a ? 0 ,
即 AC ? BE 。 (II) 解法 2: 由(I)得 EA ? ( 2a,0, ??a), EC ? (0, 2 a, ??a), BE ? ( ? 2 a, ? 2 a, ?a) .

??? ?

??? ?

??? ?

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设*面 ACE 的法向量为 n=(x,y,z),则由 n ? EA ,n ? EC 得

??? ?

??? ?

??? ? ?n ? EA ? 0, ? 2x ? ? z ? 0, ? ? 即? 取z ? 2,得n( ?, ? , 2) 。 ? ? ??? ?n ? EC ? 0, ? 2y ? ? z ? 0, ? ? ??? ? ??? ? (0,2a,0) 易知*面 ABCD 与*面 ADE 的一个法向量分别为 DS ? (0, 0, 2a)与DC ? . ???? ??? ??? ? ? DC ? n ? DS ? BE ? . ? sin ? ? ??? ??? ? , cos ? ? ???? ? ? ? DS ? BE DC ? n ?2 ? 4 2? 2 ? 2

?0< ? , ? ?

?
2

,? ? 0 ,

? tan ? ? tan ? ? ? ? ? ?
由于 ? ? (0, 2] ,解得 ? ?

?
2

? sin ? ? cos ? ?

? ? ?4
2

?

?
2? ? 2
2

? ?2 ? 2 .

2 ,即为所求。

19、 (本小题满分 13 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 (n 为正整数) 。 (Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ? 明。 19.解析: (I)在 Sn ? ?an ? ( )

1 2

n ?1 5n 的大小,并予以证 an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn 试比较 Tn 与 n 2n ? 1 1 2
n ?1

? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ?
n?2

1 2

当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ?an ?1 ? ( )

1 2

1 ? 2, an ? Sn ? Sn?1 ? ?an ? an?1 ? ( )n?1 , ? 2

1 ? 2a n ? an?1 ? ( )n?1 ,即2n an ? 2n?1 an?1 ? 1 . 2
? bn ? 2n an ,? bn ? bn ?1 ? 1,即当n ? 2时,bn ? bn ?1 ? 1 .
又 b1 ? 2a1 ? 1,? 数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?
n

?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( )n ,所以 n 2 1 1 2 1 3 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? K ? (n ? 1)( ) n 2 2 2 2
(II)由(I)得 cn ?

n . 2n

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1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( )2 ? 3 ? ( )3 ? 4 ? ( ) 4 ? K ? (n ? 1)( ) n?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? K ? ( ) ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2
Tn ? 5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ? 1) ? 3? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1)

于是确定 Tn与

5n n 的大小关系等价于比较 2 与2n ? 1 的大小 2n ? 1
2 3 4 5

由 2 ? 2 ?1 ? 1; 2 ? 2 ? 2 ? 1; 2 ? 2 ? 3 ? 1; 2 ? 2 ? 4 ? 1; 2 ? 2 ? 5; K

2 可猜想当 n ? 3时, ? 2n ? 1. 证明如下:
n

证法 1: (1)当 n=3 时,由上验算显示成立。 (2) 假设 n ? k ? 1 时 2
k ?1

? 2g2k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ? (2k ? 1) ? 2( k ? 1) ? 1

所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立 综合(1) (2)可知 ,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 ? 2n ? 1.
n

证法 2:当 n ? 3 时
0 1 2 n n 0 1 n n 2n ? (1 ? 1)n ? Cn ? Cn ? Cn ? K ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1

综上所述,当 n ? 1, 2时 Tn ?

5n 5n ,当 n ? 3 时 Tn ? 2n ? 1 2n ? 1

20、 (本小题满分 14 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的对称轴上一点 A ? a, 0 ?? a ? 0 ? 的直线与抛物线相交于 M、
2

N 两点,自 M、N 向直线 l : x ? ?a 作垂线,垂足分别为 M 1 、 N1 。 (Ⅰ)当 a ? (Ⅱ)记

p 时,求证: AM 1 ⊥ AN1 ; 2

?AMM 1 、 ?AM 1 N1 、 ?ANN1 的面积分别为 S1 、 S 2 、 S 3 ,是否存在 ? ,

2 使得对任意的 a ? 0 ,都有 S 2 ? ? S1S 2 成立。若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由。

20 题。本小题主要考察抛物线的定义和几何性质等*面解析几何的基础知识,考查综合运 用数学知识进行推理运算的能力。 (14 分)

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解:依题意,可设直线 MN 的方程为 x ? my ? a, M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则有

M (?a, y1 ), N (?a, y2 )
由?

? x ? my ? a ? y ? 2 px
2

消去 x 可得 y ? 2mpy ? 2ap ? 0
2

从而有 ?

? y1 ? y2 ? 2mp ? y1 y2 ? ?2ap
2



于是 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2a ? 2(m p ? a) 又由 y1 ? 2 px1 , y1 ? 2 px2 可得 x1 x2 ?
2



2

( y1 y2 ) 2 (?2ap) 2 ? ? a2 4 p2 4 p2



p p p 时,点 A( , 0) 即为抛物线的焦点, l 为其准线 x ? ? 2 2 2 P P 2 此时 M1 (? , y1 ), N1 (? , y2 ), 并由 ①可得 y1 y2 ? ? p 2 2 uuuu v uuuv 证法 1: Q AM 1 ? (? p, y1 ), AN1 ? (? p, y2 )
(Ⅰ)如图 1,当 a ?

uuuu uuuv v ? AM1 ? AN1 ? p 2 ? y1 y2 ? p 2 ? p 2 ? 0,即AM1 ? AN1

证法 2:

Q K AM1 ? ?

y1 y , K AN1 ? ? 2 , p p

? K AM1 ? K AN1

y1 y2 p2 ? 2 ? ? 2 ? ?1, 即AM 1 ? AN1 . p p

(Ⅱ)存在 ? ? 4 ,使得对任意的 a ? 0 ,都有 S 2 ? 4 S1S3 成立,证明如下:
2

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知识改变命运,学*成就未来
证法 1:记直线 l 与 x 轴的交点为 A1 ,则 OA ? OA1 ? a 。于是有

1 1 ? MM 1 ? A1M 1 ? (x1 ? a ) y1 2 2 1 S2 ? ? M 1 N1 ? AA1 ? a y1 ? y2 2 1 1 S3 ? ? NN1 ? A1 N1 ? (x2 ? a ) y2 2 2 S1 ?
2 ? S 2 ? 4 S1S3 ? (a y1 ? y2 ) 2 ? ( x1 ? a ) y1 ? ( x2 ? a ) y2

? a 2 [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? [ x1 x2 ? a ( x1 ? x2 ) ? a 2 ] y1 y2
将①、②、③代入上式化简可得

a 2 (4m2 p 2 ? 8ap) ? 2ap(2am2 p ? 4a 2 ) ? 4a 2 p(m2 p ? 2a)
上式恒成立,即对任意 a ? 0, S2 ? 4S1S3 成立
2

证法 2:如图 2,连接 MN1 , NM 1 ,则由 y1 y2 ? ?2ap, y1 ? 2 px1 可得
2

KOM ?

y1 2 p 2 py2 2 py2 y2 ? ? ? ? ? KON1 ,所以直线 MN1 经过原点 O, x1 y1 y1 y2 ?2ap ?a

同理可证直线 NM 1 也经过原点 O 又 OA ? OA1 ? a 设 M 1 A1 ? h1 , N1 A1 ? h2 , MM 1 ? d1 , NN1 ? d 2 , 则

S1 ?

1 1 1 d1h1 , S2 ? ? 2a(h1 ? h2 ) ? a(h1 ? h2 ), S3 ? d 2 h2 . 2 2 2

21.(本小题满分 14 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 在 R 上 定 义 运 算 ?: p ?q ? ?

1 。 ? p ? c ?? q ? b ? ? 4bc ( b 、 c 为 实 常 数 ) 记 3

f1 ? ? ? ? ? 2 ? 2c , f 2 ? ? ? ? ? ? 2b , ? ? R .令 f ? ? ? ? f1 ? ? ? ? f 2 ? ? ? .

? ? ? 如果函数 f ? ? ? 在 ? ? 1 处有极什 ?

4 ,试确定 b、c 的值; 3

? ?? ? 求曲线 y ? f ? ? ? 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点;

? ??? ? 记 g ? x ? ?
的最大值。

c 试示 k f ? ? x ? | ? ?1 ? x ? 1? 的最大值为 M .若 M ? k 对任意的 b、 恒成立,

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21 题 当 b ? 1时,函数y ? f ?( x) 得对称轴 x=b 位于区间 [?1,1] 之外 此时 M ? max{g (?1), g (1), g (b)} 由 f ?(1) ? f ?(?1) ? 4b, 有f ?(b) ? f ?(?1) ? (b m1) ? 0
2

① 若 ?1 ? b ? 0, 则f?(1)? f?(-1)? f?(b), g(-1)? max{g (?1), g (b)} ? 于是 M ? max{ f ?(?1) , f ?(b)} ?

1 1 1 ( f ?(1) ? f ?(b) ) ? ( f ?(1) ? f ?(b) ) ? (b ?1) 2 2 2 2

② 若 0 ? b ? 1 ,则 f?(=1)? f?(1)? f?(b),? g(1)? max{g (?1), g (b)} 于是

1 1 1 1 M ? max{ f ?(?1) , f ?(b)} ? ( f ?(?1) ? f ?(b) ) ? ( f ?(?1) ? f ?(b) ) ? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2 1 综上,对任意的 b、c 都有 M ? 2
而当, b ? 0, c ?

1 1 1 2 时, g ( x) ? ? x ? 在区间 [?1,1] 上的最大值 M ? 2 2 2

故 M ? K 对任意的 b,c 恒成立的 k 的最大值为

1 2

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