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通用版2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题10数学思想第38练数形结合

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南方有鸟 焉,名 曰蒙鸠 ,以羽 为巢, 而编之 以发, 系之苇 苕,风 至苕折 ,卵破 子死。 巢非不 完也, 所系者 然也。 西方有 木焉, 名曰射 干,茎 长四寸 ,生于 高山之 上,而 临百仞 之渊, 木茎非 能长也 ,所立 者然也 。蓬生 麻中, 不扶而 直;白 沙在涅 ,与之 俱黑。 第 38 练 数形结合思想 [思想方法解读] 数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方 面,其应用大致可以分为两种情形:①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形 作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;②借助于数的精确 性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来 精确地阐明曲线的几何性质. 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几 何直观,使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用 这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决.数形结合的思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转 化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时, 要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目 中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关 系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围. 数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合.如:锐角三角函数的定义是借助于直角 三角形来定义的;任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的. 体验高考 1 . (2015· 北 京 ) 如 图 , 函 数 f(x) 的 图 象 为 折 线 ACB , 则 不 等 式 f(x)≥log2(x+1)的解集是( ) A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} 答案 C 解析 令 g(x)=y=log2(x+1),作出函数 g(x)的图象如图. 由???x+y=2, ??y=log2 x+ , 得????? xy==11,. 南方有鸟 焉,名 曰蒙鸠 ,以羽 为巢, 而编之 以发, 系之苇 苕,风 至苕折 ,卵破 子死。 巢非不 完也, 所系者 然也。 西方有 木焉, 名曰射 干,茎 长四寸 ,生于 高山之 上,而 临百仞 之渊, 木茎非 能长也 ,所立 者然也 。蓬生 麻中, 不扶而 直;白 沙在涅 ,与之 俱黑。 ∴结合图象知不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}. 2.已知 f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x) 时,h(x)=-g(x),则 h(x)( ) A.有最小值-1,最大值 1 B.有最大值 1,无最小值 C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值 答案 C 解析 由题意得,利用*移变化的知识画出函数|f(x)|,g(x)的图象如图, 而 h(x)=?????|-fg x x ,|f ,|f x x gx gx , 故 h(x)有最小值-1,无最大值. 3.(2015·重庆)若函数 f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为 5,则实数 a=________. 答案 4 或-6 解析 由于 f(x)=|x+1|+2|x-a|, 当 a>-1 时, ??-3x+2a- x<- , f(x)=?-x+2a+ -1≤x≤a , ??3x-2a+ x>a 作出 f(x)的大致图象如图所示, 由函数 f(x)的图象可知 f(a)=5, 即 a+1=5,∴a=4. 同理,当 a≤-1 时,-a-1=5,∴a=-6. 高考必会题型 题型一 数形结合在方程根的个数中的应用 例 1 方程 sin π x=x4的解的个数是( ) 南方有鸟 焉,名 曰蒙鸠 ,以羽 为巢, 而编之 以发, 系之苇 苕,风 至苕折 ,卵破 子死。 巢非不 完也, 所系者 然也。 西方有 木焉, 名曰射 干,茎 长四寸 ,生于 高山之 上,而 临百仞 之渊, 木茎非 能长也 ,所立 者然也 。蓬生 麻中, 不扶而 直;白 沙在涅 ,与之 俱黑。 A.5 B.6 C.7 D.8 答案 C 解析 在同一*面直角坐标系中画出 y1=sin π x 和 y2=x4的图象,如下图: 观察图象可知 y1=sin π x 和 y2=x4的图象在第一象限有 3 个交点,根据对称性可知,在第 三象限也有 3 个交点,在加上原点,共 7 个交点,所以方程 sin π x=x4有 7 个解. 点评 利用数形结合求方程解应注意两点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数,使问题转化为讨论两曲线的交点问题, 但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性,否则会得到错解. (2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键,数形结合应以快和准为原则而采用, 不要刻意去数形结合. 变式训练 1 若函数 f(x)=???x-x 1-kx2,x≤0, ??ln x,x>0 有且只有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围是( ) A.(-4,0) B.(-∞,0] C.(-4,0] D.(-∞,0) 答案 B 解析 当 x>0 时,f(x)=lnx 与 x 轴有一个交点, 即 f(x)有一个零点. 依题意,显然当 x≤0 时,f(x)=x-x 1-kx2 也有一个零点,即方程x-x 1-kx2=0 只能有一个 解. 令 h(x)=x-x 1,g(x)=kx2, 则两函数图象在 x≤0 时只能有一个交点. 若 k>0,显然函数 h(x)=x-x 1与 g(x)=kx2 在 x≤0 时有两个交点,即点



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