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2019年高考数学考点突破专题 计数原理(理科专用)二项式定理Word版含解析

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二项式定理 【考点梳理】 1.二项式定理 (1)二项式定理:(a+b) =Cna +Cna (2)通项公式:Tr+1=Cna r n-r r n 0 n 1 n-1 n-r r n * b+…+Cr b +…+Cn na nb (n∈N ); b ,它表示第 r+1 项; 0 1 (3)二项式系数:二项展开式中各项的系数 Cn,Cn,…,Cn. 2.二项式系数的性质 性质 对称性 二项式 增减性 系数 Cn k n 性质描述 与首末等距离的两个二项式系数相等,即 Cn=Cn 当 k< 当 k> k n-k n+1 2 2 (n∈N )时,是递增的 (n∈N )时,是递减的 n * * n+1 二项式系 数最大值 3.各二项式系数和 2 取得最大值 当 n 为偶数时,中间的一项 C n n ?1 n ?1 当 n 为奇数时,中间的两项 Cn 2 与 Cn 2 取最大值 (1)(a+b) 展开式的各二项式系数和:Cn+Cn+Cn+…+Cn=2 . (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即 Cn+Cn+Cn+…=Cn+Cn+ Cn+…=2 5 0 2 4 1 3 n 0 1 2 n n n-1 . 【考点突破】 考点一、展开式中的特定项或特定项的系数 6 ? 2 1? 【例 1】(1)?x - ? 的展开式中,常数项是( 2x? ? 5 A.- 4 5 ) 15 D. 16 5 B. 4 3 15 C.- 16 a? ? (2)已知? x- ? 的展开式中含 x2的项的系数为 30,则实数 a=________. x? ? [答案] (1) D (2) -6 [解析] (1)Tr+1=C6(x ) 4 ? 1? 4 15 为?- ? C6= . 16 ? 2? r 2 6-r ?- 1 ? =?-1? Crx12-3r,令 12-3r=0,解得 r=4,∴常数项 ? 2x? ? 2? 6 ? ? ? ? r r a? ? ? a ?r r 5-r r r (2)? x- ? 的展开式的通项为 Tr+1=C5( x) ·?- ? =(-a) C5·x x? x? ? ? -2r=3,得 r=1,∴(-a) ·C5=30,解得 a=-6. 【类题通法】 1 1 5 5-2r 2 .依题意, 令5 1.求展开式中的特定项或其系数.可依据条件写出第 k+1 项,再由特定项的特点求出 k 值即可. 2.已知展开式的某项或其系数求参数.可由某项得出参数项,再由通项公式写出第 k+1 项,由特定项得出 k 值,最后求出其参数. 【对点训练】 1.(2x+ x) 的展开式中,x 的系数是________(用数字作答). [答案] 10 [解析] 由(2x+ x) 得 Tr+1=C5(2x) 为 10. 2.已知(1+3x) 的展开式中含有 x 项的系数是 54,则 n=________. [答案] 4 [解析] (1+3x) 的展开式的通项为 Tr+1=Cn(3x) ,令 r=2,得 T3=9Cnx ,由题意得 9Cn= 54,解得 n=4. n r r 2 2 2 5 5 3 r 5-r ( x) =2 r 5-r r 5- 5 2 r Cx ,令 5- =3 得 r=4,此时系数 2 r n 2 ? 1? 6 2 【例 2】?1+ 2?(1+x) 的展开式中 x 的系数为( x ? ? A.15 [答案] C B.20 C.30 ) D.35 ? 1? 6 r r 6 2 2 2 [解析] 因为(1+x) 的通项为 C6x ,所以?1+ 2?(1+x) 展开式中含 x 的项为 1·C6x 和 ? x? 1 x2 ·C6x ,因为 C6+C6=2C6=2× 4 4 2 4 2 6×5 ? 1? 6 2 =30,所以?1+ 2?(1+x) 展开式中 x 的系数为 30. x 2×1 ? ? 【类题通法】 求解形如(a+b) (c+d) 的展开式问题的思路 (1)若 n,m 中一个比较小,可考虑把它展开得到多个,如(a+b) (c+d) =(a +2ab+b )(c +d) ,然后展开分别求解. (2)观察(a+b)(c+d)是否可以合并,如(1+x) (1-x) =[(1+x)(1-x)] (1-x) =(1- 5 7 5 2 2 n m m 2 2 m x2)5(1-x)2. (3)分别得到(a+b) ,(c+d) 的通项公式,综合考虑. 【对点训练】 (x+y)(2x-y) 的展开式中 x y 的系数为________. [答案] 40 [解析] 由(2x+ x) 得 Tr+1=C5(2x) 为 10. 【例 3】(x +x+y) 的展开式中 x y 的系数为( A.10 [答案] C [解析] (x +x+y) 的展开式的通项为 Tr+1=C5(x +x) 2 5 2 5 5 2 5 5 3 3 n m r 5-r ( x) =2 r 5-r r 5- 5 2 r Cx ,令 5- =3 得 r=4,此时系数 2 r ) D.60 B.20 C.30 r 2 5-r ·y ,令 r=2,则 T3=C5(x + r 2 2 2 3-k k k 6-k 2 x)3y2,又(x2+x)3 的展开式的通项为 Ck ·x =C3x ,令 6-k=5,则 k=1,所以(x +x 3(x ) +y) 的展开式中,x y 的系数为 C5C3=30,故选 C. 【类题通法】 求形如(a+b+c) 展开式中特定项的步骤 n 5 5 2 2 1 【对点训练】 (x+y)(2x-y) 的展开式中 x y 的系数为________. [答案] 40 [解析] 由二项式定理可得,展开式中含 x y 的项为 x·C5(2x) (-y) +y·C



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